Да, можно не менять прописку ребенка. В ст. 20 ГК РФ указано, что местом жительства несовершеннолетнего, не достигшего 14 лет, признается местожительство его родителей.

Несовершеннолетние приобретают право на жилую площадь, определенную им в качестве места жительства соглашением родителей.

Само по себе проживание ребенка в квартире, которая не является тем местом жительства, которое определено ребенку соглашением родителей (в данном случае квартира матери), не может служить основанием для признания его утратившим право пользования тем жилым помещением, в котором проживает отец.

Ребенок в равной степени имеет право на проживание как в жилом помещение отца, так и матери. Когда ребенку исполнится 14 лет, он сам сможет выбрать место своего жительства.